算法(3)——二分查找

一、什么是二分查找

二分查找也称折半查找，是在一组有序(升序/降序)的数据中查找一个元素，它是一种效率较高的查找方法。

二、二分查找的原理

1、查找的目标数据元素必须是有序的。没有顺序的数据，二分法就失去意义。

2、数据元素通常是数值型，可以比较大小。

3、将目标元素和查找范围的中间值做比较（如果目标元素=中间值，查找结束），将目标元素分到较大/或者较小的一组。

4、通过分组，可以将查找范围缩小一半。

5、重复第三步，直到目标元素=新的范围的中间值，查找结束。

三、二分查找模板 

1、朴素二分查找模板

2、一般二分查找模板

四、二分查找经典OJ题

4、1 二分查找

704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

a. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。 b. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：         i. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值

        ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；

        iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1 ，然后重复 2 过程； c. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。

3、算法代码

class Solution {
public:
    int search(vector& nums, int target) 
    {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>target)
            {
                right=mid-1;
            }
            else if(nums[mid] 
4、2 在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置
 
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）
 
1、题目描述：
 
 
2、算法思路：
 
 
 ⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个  
 
 
 区间，然后再另⼀个区间内查找；  
 
 
 
 ⽅便叙述，⽤  
 x  
 表⽰该元素，  
 resLeft  
 表⽰左边界，  
 resRight  
 表⽰右边界。  
 
 
 
 
 
   
   寻找左边界：  
   
   
   
   ◦  
   我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：  
   
   
   
   ▪  
   左边区间  
   [left, resLeft - 1]  
   都是⼩于  
   x  
   的；  
   
   
   
   ▪  
   右边区间（包括左边界）  
   [resLeft, right]  
   都是⼤于等于  
   x  
   的；  
   
   
   
   •  
   因此，关于  
   mid  
   的落点，我们可以分为下⾯两种情况：  
   
   
   
   ◦  
   当我们的  
   mid  
   落在  
   [left, resLeft - 1]  
   区间的时候，也就是  
   arr[mid] < target 。说明  
   [left, mid]  
   都是可以舍去的，此时更新  
   left  
   到  
   mid + 1  
   的位置， 继续在 [mid + 1, right]  
   上寻找左边界；  
   
   
   
   ◦  
   当  
   mid  
   落在  
   [resLeft 
   ， 
    right]  
   的区间的时候，也就是  
   arr[mid] >= target  
   。 说明 [mid + 1, right]  
   （因为  
   mid  
   可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时 更新 right  
   到  
   mid  
   的位置，继续在  
   [left, mid]  
   上寻找左边界；  
   
   
   
   •  
   由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界； 
   
 
 
 
 
 
 
   
   注意：这⾥找中间元素需要向下取整。  
   
   
   
   因为后续移动左右指针的时候：  
   
   
   •  
   左指针：  
   left = mid + 1  
   ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；  
   
   
   
   •  
   右指针：  
   right = mid  
   ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下  
   1,2  
   两个元  
   
   
   素，  
   left == 1  
   ，  
   right == 2  
   ，  
   mid == 2  
   。更新区间之后，  
   left 
   ， 
   right 
   ， 
   mid  
   的 值没有改变，就会陷⼊死循环）。  
   
   
   
   因此⼀定要注意，当  
   right = mid  
   的时候，要向下取整。 
   
 
 
 
 
  
  寻找右边界思路：  
  
  
  
  ◦  
  ⽤  
  resRight  
  表⽰右边界；  
  
  
  
  ◦  
  我们注意到右边界的特点：  
  
  
  
  ▪  
  左边区间 （包括右边界）  
  [left, resRight]  
  都是⼩于等于  
  x  
  的；  
  
  
  
  ▪  
  右边区间  
  [resRight+ 1, right]  
  都是⼤于  
  x  
  的；  
  
  
  
  •  
  因此，关于  
  mid  
  的落点，我们可以分为下⾯两种情况：  
  
  
  
  ◦  
  当我们的  
  mid  
  落在  
  [left, resRight]  
  区间的时候，说明  
  [left, mid - 1](mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新  
  left  
  到  
  mid 的位置；  
  
  
  
  ◦  
  当 mid 落在 [resRight+ 1, right]  
  的区间的时候，说明  
  [mid, right]  
  内的元素 是可以舍去的，此时更新 right  
  到  
  mid - 1  
  的位置；  
  
  
  
  •  
  由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；  
  
 
 
  
  注意：这⾥找中间元素需要向上取整。  
  
  
  
  因为后续移动左右指针的时候：  
  
  
  
  •  
  左指针：  
  left = mid  
  ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下  
  1,2  
  两个元  
  
  
  素，  
  left == 1 
  ， 
   right == 2 
  ， 
  mid == 1  
  。更新区间之后，  
  left 
  ， 
  right 
  ， 
  mid  
  的值 没有改变，就会陷⼊死循环）。  
  
  
  
  •  
  右指针：  
  right = mid - 1  
  ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的； 因此⼀定要注意，当 right = mid  
  的时候，要向下取整。 
  
 
3、算法代码
 
class Solution {
public:
    vector searchRange(vector& nums, int target) 
    {
        int begin=0;
        if(nums.size()==0) return {-1,-1};
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(right>left)   //找左端点
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]left)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]<=target) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return {begin,right};
    }
};
 
4、3 搜索插入位置
 
35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）
 
1、题目描述
 
 
2、算法思路
 
 
  
  a.  
  分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：  
  
  
  设插⼊位置的坐标为  
  index  
  ，根据插⼊位置的特点可以知道：  
  
  
  •  
  [left, index - 1]  
  内的所有元素均是⼩于  
  target  
  的；  
  
  
  •  
  [index, right]  
  内的所有元素均是⼤于等于  
  target  
  的。  
  
  
  
  b.  
  设  
  left  
  为本轮查询的左边界，  
  right  
  为本轮查询的右边界。根据  
  mid  
  位置元素的信息，分析下⼀轮查询的区间：  
  
  
  ▪  
  当  
  nums[mid] >= target  
  时，说明  
  mid  
  落在了  
  [index, right]  
  区间上，  
  
  
  mid  
  左边包括  
  mid  
  本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在  
  [left, mid] 上。因此，更新  
  right  
  到  
  mid  
  位置，继续查找。  
  
  
  ▪  
  当  
  nums[mid] < target  
  时，说明  
  mid  
  落在了  
  [left, index - 1]  
  区间上， mid 右边但不包括  
  mid  
  本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在  
  [mid + 1, right] 上。因此，更新  
  left  
  到  
  mid + 1  
  的位置，继续查找。  
  
  
  
  c.  
  直到我们的查找区间的⻓度变为  
  1  
  ，也就是  
  left == right  
  的时候，  
  left  
  或者  
  
  
  right  
  所在的位置就是我们要找的结果。 
  
 
3、算法代码
 
class Solution {
public:
    int searchInsert(vector& nums, int target) 
    {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(right>left)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid] 
4、4 X的平方根
 
69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）
 
1、题目描述
 
 
2、算法思路
 
 
  
  依次枚举  
  [0, x]  
  之间的所有数  
  i  
  ：  
  
  
  （这⾥没有必要研究是否枚举到  
  x / 2  
  还是  
  x / 2 + 1  
  。因为我们找到结果之后直接就返回  
  
  
  了，往后的情况就不会再判断。反⽽研究枚举区间，既耽误时间，⼜可能出错）  
  
  
  ▪  
  如果  
  i * i == x  
  ，直接返回  
  x  
  ；  
  
  
  ▪  
  如果  
  i * i > x  
  ，说明之前的⼀个数是结果，返回  
  i - 1  
  。  
  
  
  由于  
  i * i  
  可能超过  
  int  
  的最⼤值，因此使⽤  
  long long  
  类型 
  
 
3、算法代码
 
class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) 
    {
        if(x<1) return 0;
        int left=1,right=x;
        while(right>left)
        {
            long long mid=left+(right-left+1)/2;
            if(mid*mid>x) right=mid-1;
            else left=mid;
        }
        return left;
    }
};
 
4、5 山峰数组的峰顶
 
852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）
 
1、题目描述
 
 
2、算法思路
 
 
 峰顶的特点：⽐两侧的元素都要⼤。  
 
 
 因此，我们可以遍历数组内的每⼀个元素，找到某⼀个元素⽐两边的元素⼤即可 
 
 
 
 3、算法代码 
 
 
 
class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector& arr) 
    {
        for(int i=1;iarr[i-1]&&arr[i]>arr[i+1])
            {
                return i;
            } 
            
        }
        return 0;
    }
};
 
 
4、5 寻找峰值   
 
 
162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）
 
 
1、题目描述
 
 
 
 
2、算法思路寻找⼆段性： 
 
 
 任取⼀个点  
 i  
 ，与下⼀个点  
 i + 1  
 ，会有如下两种情况：  
 
 
 •  
 arr[i] > arr[i + 1]  
 ：此时「左侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最左侧是负⽆穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；  
 
 
 •  
 arr[i] < arr[i + 1]  
 ：此时「右侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最右侧是负⽆穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。  
 
 
 当我们找到「⼆段性」的时候，就可以尝试⽤「⼆分查找」算法来解决问题。  
 
 
 
 3、算法代码 
 
 
 
class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector& nums) 
    {
        vector ret;
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(right>left)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]>nums[mid-1]) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return left;
    }
};
 
 
4、6 寻找旋转排序数组中的最⼩值 
 
 
153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）
 
 
1、题目描述
 
 
 
 
2、算法思路
 
 
 题⽬中的数组规则如下图所示： 
 
 
 
 其中  
 C  
 点就是我们要求的点。  
 
 
 ⼆分的本质：找到⼀个判断标准，使得查找区间能够⼀分为⼆。  
 
 
 通过图像我们可以发现，  
 [A 
 ， 
 B]  
 区间内的点都是严格⼤于  
 D  
 点的值的，  
 C  
 点的值是严格⼩于 D  
 点的值的。但是当  
 [C 
 ， 
 D]  
 区间只有⼀个元素的时候，  
 C  
 点的值是可能等于  
 D  
 点的值的。  
 
 
 
 因此，初始化左右两个指针  
 left  
 ，  
 right  
 ：然后根据 mid  
 的落点，我们可以这样划分下⼀次查询的区间：  
 
 
 ▪  
 当  
 mid  
 在  
 [A 
 ， 
 B]  
 区间的时候，也就是  
 mid  
 位置的值严格⼤于  
 D  
 点的值，下⼀次查询区间在 [mid + 1 
 ， 
 right]  
 上；  
 
 
 ▪  
 当  
 mid  
 在  
 [C 
 ， 
 D]  
 区间的时候，也就是  
 mid  
 位置的值严格⼩于等于  
 D  
 点的值，下次查询区间在 [left 
 ， 
 mid]  
 上。  
 
 
 当区间⻓度变成  
 1  
 的时候，就是我们要找的结果。 
 
 
  3、算法代码  
 
 
 
class Solution {
public:
    int findMin(vector& nums) 
    {
        int tmp=nums[nums.size()-1];
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(right>left)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>tmp) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        return nums[left];
    }
};
 
 
4、7 0~n-1缺失的数字
 
 
LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）
 
 
1、题目描述
 
 
 
 
2、算法思路
 
 
 关于这道题中，时间复杂度为  
 O(N)  
 的解法有很多种，⽽且也是⽐较好想的，这⾥就不再赘述。  
 
 
 本题只讲解⼀个最优的⼆分法，来解决这个问题。  
 
 
 在这个升序的数组中，我们发现：  
 
 
 ▪  
 在第⼀个缺失位置的左边，数组内的元素都是与数组的下标相等的；  
 
 
 ▪  
 在第⼀个缺失位置的右边，数组内的元素与数组下标是不相等的。  
 
 
 因此，我们可以利⽤这个「⼆段性」，来使⽤「⼆分查找」算法。 
 
 
  3、算法代码 
 
 
 
class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector& records) 
    {
        int left=0,right=records.size()-1,k=0;
        while(right>left)
        {
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(records[mid]!=mid) right=mid;
            else left=mid+1;
        }
        return left==records[left]?left+1:left;
    }